Calcul d'un terme de rang donné - Exercice résolu

Dans chacun des cas suivants, calculer  `u_1` et `u_{15}` .

1. La suite `u` est une suite arithmétique de premier terme `u_0=2` et de raison \(r=\dfrac{2}{3}\) .

2. La suite `u` est définie par \(u_0=2{,}4\) et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=u_n-0{,}2\) .

Solution

1. Pour calculer  `u_1` , on peut utiliser la relation de récurrence : 

\(u_1=u_0+r\)  soit  \(u_1=2+\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}\) .

Pour calculer  `u_{15}` , il est préférable d'utiliser la formule explicite :

pour tout entier naturel  `n` ,  `u_n=u_0+nr`  soit  \(u_n=2+\dfrac{2}{3}n\) .

On a donc  \(u_{15}=2+\dfrac{2}{3}\times 15=2+10=12\) .

2. Pour calculer  `u_1` , on utilise la relation de récurrence donnée :  \(\) \(u_1=u_0-0{,}2=2{,}4-0{,}2=2{,}2\) .

Pour calculer  `u_{15}` , il est préférable d'utiliser la formule explicite. En effet, la relation de récurrence nous permet d'affirmer que la suite  `u`  est une suite arithmétique de raison  \(-0{,}2\) .

Pour tout entier naturel  `n` ,  `u_n=u_0+nr`  soit  \(u_n=2{,}4-0{,}2n\) .

On a donc  \(u_{15}=2{,}4-0{,}2 \times 15=-0{,}6\) .